$\vdash$  $\forall$$P$:($\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{P}$\{k\}). ($\forall$$i$:$\mathbb{N}$. ($\forall$$j$:$\mathbb{N}$. ($j$ $<$ $i$) $\Rightarrow$ $P$($j$)) $\Rightarrow$ $P$($i$)) $\Rightarrow$ \{$\forall$$i$:$\mathbb{N}$. $P$($i$)\}